Matematika Sekolah Menengah Atas Sebuah perusahaan dapat memproduksi x-ratus ban berkualitas ekspor dan y-ratus ban berkualitas sedang per hari, di mana x minimal nol dan maksimal 4 dan y = (40 – 10x)/(5 – x). Keuntungan ban berkualitas ekspor dua kali keuntungan ban berkualitas sedang. Temukan jumlah x dan y yang menghasilkan keuntungan terbesar untuk perusahaan itu

nestorwilliamsonulv – March 24, 2023

Sebuah perusahaan dapat memproduksi x-ratus ban berkualitas ekspor dan y-ratus ban
berkualitas sedang per hari, di mana x minimal nol dan maksimal 4 dan y = (40 – 10x)/(5 – x). Keuntungan ban berkualitas ekspor dua kali keuntungan ban berkualitas sedang. Temukan jumlah x dan y yang menghasilkan keuntungan terbesar untuk perusahaan itu

Jawab:

[tex]x=5-2\sqrt{5},\text{ }y=10-\sqrt{5}[/tex]

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Buat dahulu model matematikanya

[tex]\displaystyle 0\leq x\leq 4\\\\y=\frac{40-10x}{5-x}[/tex]

Kemudian kita akan misalkan keuntungan 1 ban berkualitas ekspor sebagai [tex]K_x[/tex] dan keuntungan 1 ban berkualitas sedang sebagai [tex]K_y[/tex]. Sehingga didapat persamaan lagi

[tex]K_x=2K_y[/tex]

Maka keuntungan totalnya merupakan jumlahan keuntungan keduanya

[tex]\displaystyle K_{\text{tot}}=xK_x+yK_y\\\\K_{\text{tot}}=xK_x+2\left(\frac{40-10x}{5-x}\right)K_x\\\\K_{\text{tot}}=xK_x+\left(\frac{80-20x}{5-x}\right)K_x[/tex]

Kita misalkan [tex]K_x[/tex] berapapun, ujung-ujungnya kita hanya butuh nilai maksimumnya kok bukan keuntungannya berapa, maka ambil aja [tex]K_x=1[/tex], sehingga

[tex]\displaystyle K_{\text{tot}}=x+\frac{80-20x}{5-x}[/tex]

Untuk tau nilai maksumum dari keuntungan total, maka kita ambil turunannya kemudian disama dengankan nol (untuk mendapatkan titik kritis berupa titik puncak)

[tex]\displaystyle\frac{d}{dx}K_{\text{tot}}=0\\\\1-\frac{20}{(5-x)^2}=0\\\\(5-x)^2-20=0\\\\5-x=\pm\sqrt{20}\\\\x=5\pm2\sqrt{5}[/tex]

(Kamu dapat melihat kurva keuntungan pada lampiran foto dibawah!)

Kita ambil solusi yang [tex]x=5-2\sqrt{5}[/tex] karena nilai [tex]x[/tex] dibatasi (seperti yang diketahui di soal harus diantara 0 dan 4 atau sama dengan). Sekarang kita perlu mencari nilai [tex]y[/tex] yaitu

[tex]\displaystyle y=\frac{40-10x}{5-x}\\\\y=\frac{40-10(5-2\sqrt{5})}{5-(5-2\sqrt{5})}\\\\y=10-\sqrt{5}[/tex]

Sehingga pasangan nilai [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah

[tex]x=5-2\sqrt{5},\text{ }y=10-\sqrt{5}[/tex]

[answer.2.content]